Clase 2
Definiciones
1.- En un problema de
programación lineal deseamos maximizar o minimizar una función
objetivo lineal, sujeta a determinadas restricciones sobre las
variables. Esto puede expresarse como sigue:
Max (MIN) Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
Sujeto a:
A11X1 + A12X2 + ... + A1nXn (<=,=,>=) B1
A21X1 + A22X2 + ... + A2nXn (<=,=,>=)B2
........................................................................
Am1X1 + Am2X2 + ... + AmnXn (<=,=,>=)Bm
Xj >= 0 para j=1...n
2.- Z = C1X1 +C2X2 + ... + CnXn se
denomina función objetivo
3.- Ai1X1 +Ai2X2 + AinXn
(<=,=,>=) Bi es una restricción.
4.- Xj >= 0 para j=1...n designa
la restricción NO negativa.
5.- El Conjunto que satisface todas
las restricciones recibe el nombre de REGION FACTIBLE.
6.- La región factible es el
conjunto intersección de semi - planos y, como tal, es un
conjunto CONVEXO. Un conjunto es convexo si para cualesquiera
puntos P1 y P2 contenidos en él, la recta que los une está
contenida en dicho conjunto.
7.- Un VERTICE de la región
factible se denomina un PUNTO EXTREMO de la región. Una
definición más exácta es: Un punto es extremo de una región
convexa si no está sobre el segmento que une cualquier otro par
de puntos en la región.
Geometría
A) En dos dimensiones podemos trazar la región
factible correspondiente a las restricciones de un problema de PL
con dos variables.
B) Consideremos la función objeto Z = C1X1 +
C2X2 . Si resolvemos esta ecuación para X2, se obtiene: X2 =
(-C1/C2)X1 + Z/C2
Para los diferentes valores de Z tenemos una serie de rectas
cuyas pendientes son todas (-C1/C2). Puesto que Z/C2 es la intersección
X2 de cada una de las rectas, para MAXIMIZAR (minimizar) Z
tratamos de incrementar (o disminuir) el corte X2 hasta donde sea
posible, a la vez que se mantiene por lo menos un punto sobre los
lados de la región factible.
C) Un Problema de programación lineal puede no
tener solución sí:
D) Si el problema
tiene solución, sucede que dicha solución se encuentra en un
punto vértice o a lo largo de un borde de la región factible.
(ALTERNA). En todo caso, el conjunto de soluciones incluye cuando
menos un punto extremo de la región factible.
E) Con tres Variables, la región
factible consiste en un cuerpo sólido y la función objetivo
corresponde a una serie de planos paralelos.
Aquí de nuevo la Z óptima se obtiene determinando el plano en
función de esta serie que optimiza Z a la par que tiene cuando menos
un punto en común con la región factible.
Este plano puede tocar a la región factible en un punto
(vértice), o a lo largo de un borde, o a lo largo de las caras
del sólido. Sin embargo, como en el caso anterior, el conjunto
de soluciones incluye por lo menos un punto extremo de la región
factible.
Copyright Daniel Redondo